Общая схема для построения графиков функций
1. Найти область определения функции D(y).
2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.
3. Исследовать функцию на четность или нечетность.
4. Исследовать функцию на периодичность.
5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.
6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.
7. Найти асимптоты функции.
8. По результатам исследования построить график .
Пример: Исследовать функцию и построить ее график: y = x3 – 3x
Решение:
1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения D(y) = (-∞; +∞).
2) Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью ОХ : решим уравнение x3 – 3x = 0
.
с осью ОY: y(0) = 03 – 3*0 = 0
3) Выясним, не является ли функция четной или нечетной:
y(-x) = (-x)3 – 3(-x) = -x3 + 3x = - (x3 – 3x) = -y(x)
Отсюда следует, что функция является нечетной.
4) Функция непериодична.
5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: y’ = 3x2 - 3.
Критические точки: 3x2 – 3 = 0, x2 =1, x= ±1.