(a+1)x^2-(5a+4)x+4a+3=0

$(a+1)x^2-(5a+4)x+(4a+3)=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}a=a+1\\b=-(5a+4)\\c=4a+3\end{array}\right\\\\D=b^2-4ac=(5a+4)^2-4(a+1)(4a+3)=\\25a^2+40a+16-16a^2-28a-12=9a^2+12a+4=(3a+2)^2$

$D=(3a+2)^2\to\left[\begin{array}{ccc}D\ \textless \ 0\\D=0\\D\ \textgreater \ 0\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}(3a+2)^2\ \textless \ 0\\(3a+2)^2=0\\(3a+2)^2\ \textgreater \ 0\end{array}\right\to\left[\begin{array}{ccc}a\ \textless \ -\frac{2}{3}\\a=-\frac{2}{3}\\a\ \textgreater \ -\frac{2}{3}\end{array}\right$

итак, мы имеем 3 ответа:
ответ₁: если $a\ \textless \ -\frac{2}{3}$ , то уравнение не имеет корней;
ответ₂: если $a=-\frac{2}{3}$ , то уравнение имеет 1 корень;
ответ₃: если $a\ \textgreater \ -\frac{2}{3}$ , то уравнение имеет 2 корня.

Пояснение ко второму ответу:
$x=\frac{-b}{2a}=\frac{5a+4}{2a+2}$

Пояснение к третьему ответу:
$\left[\begin{array}{ccc}x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{5a+4+|3a+2|}{2a+2}=\frac{5a+4+3a+2}{2a+2}=\frac{4a+3}{a+1}\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{5a+4-|3a+2|}{2a+2}=\frac{5a+4-3a-2}{2a+2}=1\end{array}\right$