Решите неравенство:

Question 1

Решите неравенство:
$(x-3)\sqrt{ x^{2}+4 } \leq x^{2} -9$

Question 2

$(x-3) \sqrt{x^2+4} -(x^2-9) \leq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\star)$

Рассмотрим функцию: $f(x)=(x-3) \sqrt{x^2+4} -(x^2-9)$
Область определения функци: множество всех действительных чисел, то есть: $D(f)=\mathbb{R}=(-\infty;+\infty)$

Найдем нули функции:
$f(x)=0;\,\,\, (x-3) \sqrt{x^2+4} -(x^2-9)=0\\ (x-3) \sqrt{x^2+4} -(x-3)(x+3)=0$
Выносим общий множитель:
$(x-3) (\sqrt{x^2+4} -(x+3))=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, то есть:
$x-3=0\\ x=3$

$\sqrt{x^2+4} -(x+3)=0\\ \sqrt{x^2+4} =x+3$
Возведем обе части в квадрат
$\big( \sqrt{x^2+4}\, \big)^2=\big(x+3\big)^2$ получим:

$x^2+4=x^2+6x+9\\ 6x=4-9\\ x=- \frac{5}{6}$

Находим решение неравенства $(\star)$

__-___[-5/6]___+___[3]___-___

$\boxed{x \in (-\infty;- \frac{5}{6} ]\cup[3+\infty)}$ - решение неравенства $(\star)$

аноним · Answer 1 · 2018-05-11T04:31:50+0000

$(x-3) \sqrt{x^2+4} -(x^2-9) \leq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (\star)$

Рассмотрим функцию: $f(x)=(x-3) \sqrt{x^2+4} -(x^2-9)$
Область определения функци: множество всех действительных чисел, то есть: $D(f)=\mathbb{R}=(-\infty;+\infty)$

Найдем нули функции:
$f(x)=0;\,\,\, (x-3) \sqrt{x^2+4} -(x^2-9)=0\\ (x-3) \sqrt{x^2+4} -(x-3)(x+3)=0$
Выносим общий множитель:
$(x-3) (\sqrt{x^2+4} -(x+3))=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, то есть:
$x-3=0\\ x=3$

$\sqrt{x^2+4} -(x+3)=0\\ \sqrt{x^2+4} =x+3$
Возведем обе части в квадрат
$\big( \sqrt{x^2+4}\, \big)^2=\big(x+3\big)^2$ получим:

$x^2+4=x^2+6x+9\\ 6x=4-9\\ x=- \frac{5}{6}$

Находим решение неравенства $(\star)$

__-___[-5/6]___+___[3]___-___

$\boxed{x \in (-\infty;- \frac{5}{6} ]\cup[3+\infty)}$ - решение неравенства $(\star)$