Шар с отверстием, прикрепленный к пружине, второй конец которой прикреплён к стене,...

Question

60 просмотров

Шар с отверстием, прикрепленный к пружине, второй конец которой прикреплён к стене, колеблется на горизонтальном стержне. Через некоторое небольшое время $t_1$ от положения, где его скорость равна нулю – он проходит некоторое небольшое расстояние $L<<A ,$ где $A$ – амплитуда. Затем за небольшое время $t_2$ – он проходит такое же расстояние $L .$ Во сколько раз первый интервал времени больше второго?

Физика logophobia2_zn (137 баллов) 11 Май, 18 | 60 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Скорость шара равна нулю, либо при максимальном сжатии пружины, либо при максимальном растяжении пружины. От этого положения, как от начального, уравнение движения можно записать так:

$x = A \cos{ \omega t } \ ,$

имея в виду, что в локальной окрестности сжатия $x$ – это степень сжатия, а в локальной окрестности растяжения $x$ – это степень растяжения.

Тогда искомая точка: $x = A - L \ ;$

$A - L = A \cos{ \omega t } \ ,$

$1 - \frac{L}{A} = \cos{ \omega t_1 } \ ,$

$1 - \frac{L}{A} \approx 1 - \frac{ (\omega t_1)^2 }{2} \ ,$

$\frac{L}{A} \approx \frac{ (\omega t_1)^2 }{2} \ ,$

Аналогично:

$\frac{2L}{A} \approx \frac{ ( \omega^2 (t_1+t_2)^2 }{2} \ ,$

Разделим друг на друга два последних уравнения:

$2 \approx ( \frac{t_1+t_2}{t_1} )^2 \ ,$

$2 \approx ( 1 + \frac{t_2}{t_1} )^2 \ ,$

$\frac{t_2}{t_1} \approx \sqrt{2} - 1 \ ,$

$\frac{t_1}{t_2} \approx \frac{1}{ \sqrt{2} - 1 } = \frac{ \sqrt{2} + 1 }{ ( \sqrt{2} - 1 ) ( \sqrt{2} + 1 ) } = \sqrt{2} + 1 \ ,$

$t_1 \approx ( \sqrt{2} + 1 ) t_2 \ ,$

ОТВЕТ: При $L<<A , \ \ \ \ t_1$ больше чем $t_2$ в $( \sqrt{2} + 1 ) \approx 2.414$ раза.

*** при больших значениях $L$ эта закономерность перестаёт выполняться, а при $L = \frac{A}{2}$ соотношение достигает предельного случая, в котором $\frac{t_1}{t_2} = 2 \ .$

logophobia_zn (7.5k баллов) 11 Май, 18