Доказать, что если x1 >=0, x2>=0, x3>=0, x4>=0, то их среднее арифметическое больше или равно корню четвёртой степени из их произведения
Ответ ответ ответ ответ ответ ответ
В общем виде это знаменитое неравенство Коши о том что среднее геометрическое не превосходит среднего арифментического для положительных чисел и равняется при равенстве чисел (a₁+a₂+a₃+.....+aₓ)/x ≥ ˣ√ (a₁a₂a₃.....aₓ) a₁ ...... aₓ ≥0 докажем сначала для 2-х (a₁+a₂)/2 ≥ √a₁a₂ a₁+a₂≥ 2√a₁a₂ a₁+a₂ - 2√a₁a₂ ≥ 0 (√a₁ - √a₂) ≥ 0 квадрат всегда больше равен 0 докажем на основании этой теоремы что (a₁+a₂+a₃+a₄)/4 ≥ ⁴√a₁a₂a₃a₄ теперь рассмотрим некие преобразования [ (a₁+a₂)/2 + (a₃+a₄)/2 ] / 2 ≥ √ ((a₁+a₂)/2) * ((a₃+a₄)/2) (a₁+a₂+a₃+a₄)/4 ≥ √ ((√a₁a₂)* (√a₃a₄) = √√(a₁a₂a₃a₄)=⁴√(a₁a₂a₃a₄) чтд ----------------------------------- можно доказать в общем для n переменных по методу математической индукции вышеуказанный метод модно применять для степеней 2 для 2 4 8 16 итд членов