(см. рис.)
Дано:
ABCDS - правильная пирамида
ABCD - квадрат
SM = L
∠SMO = α
Найти V(ABCDS)
V = 1/3*Sосн*h
Т.к. пирамида правильная, её вершина проецируется в центр основания.
SO - высота пирамиды.
То есть OM = половине стороне основания.
По определению синуса
sinα = SO/SM = SO/L
SO = L*sinα
По определению косинуса
cosα = OM/SM = OM/L
OM = L*cosα
Сторона основания a = 2OM = 2L*cosα
Sосн = a² = 4L²*cos²α
Объём пирамиды
V = 1/3*4L²*cos²α*L*sinα = 4/3*L³*cos²α*sinα
