Помогите решить неравенство

Найдем корни уравнения: $5^{ \frac{1}{x} }\cdot x+5^x \cdot \frac{1}{x} -10=0$

Пусть $5^x=a;\,\,\,\, 5^{ \frac{1}{x} }=b$ причем $\big(a ,b \ \textgreater \ 0\big)$ , тогда получим:
$bx+a \cdot\frac{1}{x} =10|\cdot x\\ \\ bx^2-10x+a=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=10^2-4ab=100-4ab$

имеем 2 случая:

случай 1) Если $-4ab+100=0$ , отсюда $-ab+25=0$
$5^x= \dfrac{25}{5^{ \frac{1}{x}} } \\ \\ 5^x=5^\big{ 2-\frac{1}{x} }$
$x=2- \dfrac{1}{x} |\cdot x\\ \ x^2-2x+1=0\\ (x-1)^2=0\\ x=1$

Cлучай 2) Если $-ab+25\ \textgreater \ 0;\,\,\, -5^{x+ \frac{1}{x} }\ \textgreater \ -25;\,\,\,\,\, 2\ \textgreater \ x+ \frac{1}{x}$ отсюда:
$\frac{(x-1)^2}{x} \ \textless \ 0$
ОДЗ этого неравенства $x \ne 0$

___-____(0)____+___(1)___+____
$x\ \textless \ 0$

То квадратное уравнение имеет 2 действительных корней:
$x= \dfrac{10\pm \sqrt{100-4\cdot 5^{x+ \frac{1}{x} }} }{2\cdot5^{ \frac{1}{x} }} \\ \\ 2\cdot5^{ \frac{1}{x} }\cdot x-10\mp 2\sqrt{25-5^{x+ \frac{1}{x} }} =0$

Так как $x\ \textless \ 0$ , то левая часть уравнения будет принимать отрицательные значения, то есть решений не имеет.

Значит, решением уравнения $5^{ \frac{1}{x} }\cdot x+5^x\cdot \frac{1}{x} -10=0$ является корень $x=1.$

Найдем решение заданного неравенства:

__-____(0)__+__[1]__+____

Ответ: $x \in (-\infty;0)\cup\{1\}$