Катети прямокутного трикутника ABC дорівнюють 15 см і 20 см. З вершини прямого кута C до...

Question

Катети прямокутного трикутника ABC дорівнюють 15 см і 20 см. З вершини прямого кута C до площини ABC проведено перпендикуляр CD завдовжки 35 см. Знайдіть відстань від точки D до гіпотенузи AB.
__________________________________________
З точки перетину бісектрис рівностороннього трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр OP завдовжки 8 см. знайдіть відстань від точки P до сторони BC , довжина якої дорівнює 12√3 см.

Answer 1

1) Если катеты 15 и 20, то гипотенуза = 25
( по т. Пифагора: 225 + 400 = 625)
Расстояние от точки D до гипотенузы-пусть отрезок DK.  К∈АВ
СК - это проекция наклонной DK к (АВС)
ΔDCK- прямоугольный. DK можно найти по т. Пифагора.
Ищем СК
СК²= 15² - АК²
СК² = 20² - (25 - АК)², ⇒    15² - АК² = 20² - (25 - АК)².
Решаем это уравнение:
225 - АК² = 400 - 625 +50*АК - АК², ⇒50*АК = 450, ⇒АК = 9
Теперь можно найти СК из ΔАСК по т. Пифагора
СК² = 15² - 9² = 144, ⇒СК = 12
Теперь отвечаем на вопрос задачи: DК² = 35² + 12² = 1225 +144= 1369,⇒
⇒DК = 37
2) Расстояние от Р до ВС - пусть это будет отрезок РК, К - середина ВС.  АК - медиана, биссектриса, высота ΔАВС. Вся штука в том, что точка О делит АК в отношении 2:1. Т.е. ОК - это 1/3 всей АК
Так что ищем всю АК, потом берём её 1/3 и сработает ΔРОК.
АК² = (12√3)² - (6√3)² = 144*3 - 36*3 = 36*9, ⇒ АК - 18, ОК = 6
ΔРОК
РК² = 8² + 6² = 100, ⇒РК = 10