При каких значениях a уравнение (a+1)x^2-(3a-5)x +1=0 имеет единственный корень

Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=(3a-5)^2-4\cdot(a+1)=\\ \\ =9a^2-30a+25-4a-4=9a^2-34a+21$

Если D=0, то квадратное уравнение имеет 1 корень
$9a^2-34a+21=0\\ D=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot9\cdot21=400;\,\, \sqrt{D} =20\\ \\ a_1= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{34-20}{2\cdot9} = \frac{7}{9} ;\\ \\ a_2= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{34+20}{2\cdot9} = 3$

Если $a=-1$ то уранение будет иметь один корень $8x+1=0$ отсюда $x= \frac{1}{8}$

Ответ: при $a= \frac{7}{9}$ и $a=3$  и $a=-1$