Решите пожалуйста уравнение подробно

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

ОДЗ уравнения: $5x-1 \geq 0$ отсюда $x \geq \frac{1}{5}$
Введём замену. Пусть $\sqrt{5x-1} =a\,\,\,\,\,(1);\,\,\,\, \sqrt[3]{2x+25}=b \,\,\,\,\,(2)$ , будем иметь такое уравнение:
$b-a-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (*)$
Возведем обе части в квадрат уравнения $(1):$
$5x-1=a^2$ отсюда выразим $x:\,\,\,x= \dfrac{a^2+1}{5}$
Возведем обе части уравнения $(2)$ в куб:
$2x+25=b^3$ выразим отсюда $x:\,\,\,x= \dfrac{b^3-25}{2}$

Из уравнения $(*)$ выразим $b:\,\,\,\,\,b=a+1$
Подставляем эти переменные, получаем:
$2\cdot \dfrac{a^2+1}{5} +25=(a+1)^3|\cdot5\\ 2a^2+2+125=5(a+1)^3\\2a^2+2+125-5a^3-15a^2-15a-5=0\\ 5a^3+13a^2+15a-122=0$
Мы с легкостью можем подобрать корень уравнения, это $a=2.$ .Зная корень уравнения, мы можем разложить левую часть уравнения на множители, т.е. добавим и вычтем некоторые слагаемые:
$5a^3-10a^2+23a^2-46a+61a-122=0\\ 5a^2(a-2)+23a(a-2)+61(a-2)=0\\ (a-2)(5a^2+23a+61)=0$
Произведение равно нулю, значит каждый множитель также равен нулю, тоесть:
$a-2=0$ отсюда корень будет равен $a=2$

$5a^2+23a+61=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=23^2-4\cdot5\cdot61=-691$
Так как $D\ \textless \ 0,$ то квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Возвращаемся к замене:
$\boxed{x= \frac{a^2+1}{5} = \frac{2^2+1}{5} =1}$

Ответ: $1.$

аноним 10 Май, 18