Нужно найти промежутки возрастания и убывания функциb

Построим график функции.
Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх, т.к. a=1>0.

Координаты вершины параболы:
$x=- \frac{b}{2a}= -\frac{2}{2} =-1\\ \\ y=(-1)^2+2\cdot(-1)+3=2$

По графику видим, что заданная функция убывает на промежутке $x \in (-\infty;-1)$ , а возрастает на промежутке - $x \in (-1;+\infty)$

Через производную.
$y'=(x^2+2x+3)'=2x+2\\ y'=0;\\ 2(x+1)=0\\ x=-1$

____-__(-1)___+___

функция убывает на промежутке $x \in (-\infty;-1)$ , а возрастает на промежутке - $x \in (-1;+\infty)$