Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:
image104 (527 bytes)
где image105 (86 bytes) - точка, произвольно выбранная на дуге image111 (99 bytes) разбиения кривой,
image112 (101 bytes) - приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
image106 (240 bytes) - шаг разбиения,
image113 (131 bytes) - длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes),
кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n.
На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки.
В случае замкнутой кривой l = C
image107 (368 bytes)
интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром С.
Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.
1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных - примененяются формулы:
image108 (655 bytes)
где f(z) = u + iv, u = Re f(z), v = Im f(z).
ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла.
2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования l задается в параметрической форме z = z(t)) - применяется формула:
image109 (572 bytes)