Сначала немного теорий
loga b = с ОДЗ a>0 b>0 a≠1
log f(x) h(x) >= log f(x) g(x) ⇔ (f(x)-1)(h(x)-g(x))>=0
------------------------------------------------------------------------
Теперь немного сокрашений
4^(x+1)-5*2^(x+2)+24=4*( 4^x - 5*2^x +6) = 4(2^2x-5*2^x+6)=4(2^x-3)(2^x-2)
2^(2x-2) - 7* 2^(x-2) + 5/2= 2^2x/4 - 7*2^x/4 + 10/4= (2^x-2)(2^x-5)/4
3/2= log(2^x-2)^2 ((2^x-2)^2)^3/2 = log(2^x-2)^2 (2^x-2)^2*3/2 = log(2^x-2)^2 !(2^x-2)!^3 (!! модуль)
ОДЗ
первый логарифм
(2^x-2)^2>0 всегда ктроме 2^x=2 x≠1
(2^x-2)^2≠1 2^x-2≠1 x≠log2 3 2^x-2≠-1 x≠0
4(2^x-3)(2^x-2)>0 2^x=t t>0
(t-3)(t-2)>0
+++++++(2)-------------(3)++++++++
2^x<2 x<1<br>2^x>3 x>log2 3
на оси получаем точки
........(0).......1----------log2 3 .............
x⊂(-∞ 0) U (0 1) U (log2 3 +∞)
второй логарифм
(2^x-2)^-2>0 всегда кроме 2^x=2 x≠1
(2^x-2)^-2≠1 2^x-2≠1 x≠log2 3 2^x-2≠-1 x≠0
(2^x-2)(2^x-5)/4>0 2^x=t t>0
(t-2)(t-5)>0
+++++++++2 ------------- 5 ++++++++
2^x<2 x<1<br>2^x>5 x>log2 5
на оси получаем точки
........(0).......1----------log2 5 .............
x⊂(-∞ 0) U (0 1) U (log2 5 +∞) это и есть общее ОДЗ
Теперь пошли ришать дальше
log(2^x-2)^2 4(2^x-3)(2^x-2) - log(2^x-2)^-2 (2^x-2)(2^x-5)/4 = log(2^x-2)^2 4(2^x-3)(2^x-2) + log(2^x-2)^2 (2^x-2)(2^x-5)/4 = log(2^x-2)^2 4(2^x-3) (2^x-2) *(2^x-2)(2^x-5)/4 = log(2^x-2)^2 (2^x-3)(2^x-2)^2(2^x-5) получили слева
log(2^x-2)^2 (2^x-3)(2^x-2)^2(2^x-5) >= log(2^x-2)^2 !2^x-2!^3
((2^x-2)^2-1) * ((2^x-3)(2^x-2)^2(2^x-5) - (2^x-2)^2*!2^x-2!) >=0
((2^x-2-1)(2^x-2+1)) * (2^x-2)^2 ((2^x-3)(2^x-5) - !2^x-2!) >=0
(2^x-3)(2^x-1)(2^x-2)^2 ((2^x-3)(2^x-5) - !2^x-2!) >=0
ну а теперь самый интересный (2^x-2)^2 всегда ≥ 0 можем отбросить и скобки раскрываем большую
(2^x-3)(2^x-1)((2^2x-8*2^x+15 - !2^x-2!) >=0
теперь модуль раскрываем
1. по одз x (log2 5 +∞) !2^x-2!= 2^x-2 и заметим что первый две скобка больше 0 и их отбросим . и получил
2^2x-8*2^x+15 - 2^x+2 >=0 2^2x-9*2^x+17 >=0 D=81-68=13
2^x₁₂=(9+-√13)/5
x₁=log2((9-√13)/2)≈ log2 2.69 < log2 3 x₂=log2((9+√13)/2) = log2 6.3>log2 5
x⊂(-∞ log2((9-√13)/2) ) U (log2((9+√13)/2) +∞)
2/ одз (-∞ 0) U (0 1) !2^x-2!= 2-2^x
(2^x-3)(2^x-1)(2^x-2)^2((2^2x-8*2^x+15 - 2+2^x) >=0 заметим второй скобка меньше 0 отбросим его и знак поменять, третий скобка всегда больше 0 отбросим его знак не меняем
(2^x-3)(2^2x-7*2^x+13) <=0 2^2x-7*2^x+13=0 D=49-52=-3 второй скобка всегда больше 0 <br>2^x-3<=0<br>xx⊂(-∞ log2 3)
Итак пересекаем решений и одз
ОДЗ x⊂(-∞ 0) U (0 1) U (log2 5 +∞)
x⊂(-∞ log2((9-√13)/2) ) U (log2((9+√13)/2) +∞) при (log2 5 +∞)
x⊂(-∞ log2 3) при x⊂(-∞ 0) U (0 1)
Ответ x⊂(-∞ 0) U (0 1) U (log2((9+√13)/2) +∞)
=====================================================
еще раз про ОДЗ заметим что там стоит стоит КВАДРАТ в первом и втором и если смотреть на основание логарифма, то это вся числовая ось кроме точек (2^x-2)² (КВАДРАТ) ≠0 x≠1 (2^x-2)²≠1 2^x-2≠1 2^x≠3 x≠log2 3 и 2^x-2≠-1 2^x≠1 x≠0
точно также (2^x-2)⁻²≠1/(2^x-2)² (КВАДРАТ) 2^x-2≠0 (знаминатель) x≠1 и 1/(2^x-2)²≠1 x≠1 x≠log2 3 Итак ОДЗ на основание x⊂(-∞∞ 0) U (0 1) U (1 log2 3) U (log2 3 +∞) когда смотрим на подлогарифмическое выражение там и получаем окончательное ОДЗ