Основная причина в разном испарении.
В условиях сухого климата в Красное море поступает недостаточно пресной воды, а испаряется воды много. В результате повышается содержание соли в воде.
Азовское море же питается множеством мелких рек, что опресняет воду, да и испарение там намного меньше. (В силу других климатических условий)