Ну тогда надо скорее начинать!
1. Для начала определим, какие экстремумы у этой функции. Экстремум - точка минимума или максимума, на графике легко изобразить в виде возвышенности или впадины. В этой точке скорость изменения функции нулевая. Производная - это как раз скорость изменения функции.
y' = x^2 - 4x + 3 - наша производная. Что мы говорили выше о скорости изменения функции? Она должна быть нулевой. x^2 - 4x + 3 = 0. Решаем квадратное уравнение: после некоторых раздумий, я подбираю корни x1 = 1, x2 = 3. Поскольку мы работаем на отрезке [-1;2], то точка x = 3 нам определенно не нужна. Ну и чудесно, меньше возни.
У нас три кандидата на две должности: x = -1, x = 1, x = 2. Проверяем, подставив их в исходную (sic!) функцию.
x = -1: y = (-1)^3 / 3 - 2*(-1)^2 + 3*(-1) = -1/3 - 2 - 3 = -16/3.
x = 1: y = 1^3 / 3 - 3*1^2 + 3*1 = 1/3 - 3 + 3 = 1/3.
x = 2: y = 2^3 / 3 - 3*2^2 + 3*2 = 8/3 - 12 + 6 = 8/3 - 6 = -10/3.
Смотрим. Самое маленькое значение = -16/3, самое большое = 1/3. Значит, наибольшее значение функции на данном интервале - это 1/3 в точке x = 1, а наименьшее - это -16/3 в точке x = -1.
2. Снова производные. Смысл производной - скорость изменения функции. У тебя дана функция перемещения материальной точки. Производная от нее - это ее скорость перемещения. Еще одна производная - это скорость изменения скорости, или ускорение материальной точки. То есть, задача свелась к нахождению двух производных и отысканию их значений в точке t = 4 (на самом деле, это отвратительная формулировка заданий: никогда не получалось взять в толк, что имеется в виду под "в конце четвертой секунды", поэтому просто возьму значение в четвертой секунде. Будут прикапываться - скажи, что расплывчатая формулировка задания).
Но это полемика, а мы считаем производные.
S'(t) = 4/2 t^3 - 3*2 t - 4 = 2t^3 - 6t - 4.
S''(t) = 2*3t^2 - 6 = 6(t^2 - 1).
Теперь просто подставляем t = 4 в обе наших новых функции, считаем и радуемся еще одному семестру.
S'(4) = 2 * 4^3 - 6*4 - 4 = 128 - 28 = 100 - скорость тела (или материальной точки, в данном контексте без разницы).
S''(4) = 6(4^2 - 1) = 6*15 = 90 - ускорение нашего тела.
Glhf.