По определению, T - период функции, если f(x) - периодическая функция, и f(x) = f(x+T). Так как все тригонометрические функции являются периодическими, нет необходимости доказывать существование T для данной f(x), можно сразу его искать.
n=9, m = 2\\\\
3T=2 \pi n = 18\pi\\
T = 6\pi" alt="f(x+T)=5\sin(3x+3T+\frac{\pi}{7})+2\cos(2x+2T+\frac{\pi}{4})+tg(\frac{x}{3}+\frac{T}{3}+2)\\\\
T_{\sin} = 2\pi, T_{\cos} = 2\pi, T_{tg} = \pi\\\\
3T = 2\pi n\\
2T = 2\pi k \, \, \, \,\, \, \, \, n, m, k \in Z\\
\frac{T}{3} = \pi m\\\\
3k=2n\\
k=3m\\\\
9n=2m => n=9, m = 2\\\\
3T=2 \pi n = 18\pi\\
T = 6\pi" align="absmiddle" class="latex-formula">