Докажите,что при любом натуральном значении n выполняется равенство: 5+6+7+...+(n+4)=

Это арифметическая прогрессия. первый член которой a1 = 5,
разность d= 1.
Используя формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии , получаем
$S= \frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}= \frac{(2*5+n-1)n}{2}= \frac{(9+n)n}{2}$
Как раз то, что надо.