Эту задачу можно решать с использованием производной, и без нее. Мне больше нравится, если это возможно, производную не использовать.
Поскольку 4>1, функция y=4^x монотонно возрастает, что означает
x_1y=4^(2x-x^2) и y=2x-x^2 совпадают. Я говорю именно про точки максимума, а не про значения функций в них.
Ну а с функцией y=2x-x^2 все просто: наибольшее значение эта функция принимает в вершине (тут важно, что коэффициент при x^2 отрицательный, это означает, что ветви параболы направлены вниз. Можно использовать формулу для x в вершине, но мне больше нравится выделять полный квадрат: y= - (x^2-2x+1)+1= - (x-1)^2+1⇒
наибольшее значение достигается в точке x=1 и равно 1; ну а для функции y=4^(2x-x^2) наибольшее значение будет достигаться в той же точке x=1 и равняться 4^1=4
Ответ: 4
То же самое с помощью производной:
y'=4^(2x-x^2)·ln 4·(2-2x);
y'=0 при 2-2x=0; x= 1; при x<1 y'>0; при x<1 y'<0, то есть слева от 1 функция возрастает , справа убывает⇒ x=1 точка максимума. Ясно, что именно в ней функция принимает наибольшее значение.