Выпишем трехзначные числа, сумма которых равна 7:
106=1+0+6=7
124=1+2+4=7
142=1+4+2=7
160=1+6+0=7
214=2+1+4=7
232=2+3+2=7
250=2+5+0=7
304=3+0+4=7
322=3+2+2=7
340=3+4+0=7
412=4+1+2=7
430=4+3+0=7
502=5+0+2=7
520=5+2+0=7
610=6+1+0=7
700=7+0+0=7
Выберем числа с разными цифрами: 106, 124, 142, 160, 214,250,304, 340,412, 430, 502,520,610.
(Не подходят: 232 (две двойки), 322 (две двойки), 700 (два нуля)).
Всего 13 чисел.
Ответ: существует 13 чётных трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 7, и у которых все цифры разные.