В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит один из катетов **...

Question

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит один из катетов на отрезки длиной 6 дм и 10 дм, считая от вершины прямого угла. Найти периметр треугольнике.

Answer 1

Обозначим углы треугольника А, В, С, где С - прямой угол.
Пусть Е, К, М точки касания вписанной окружности сторон АВ, ВС и АС соответственно.
Пусть СК=6, АК=10.
Как известно, касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны.
Поэтому СМ=СК=6, АЕ=АК=10. Обозначим ВМ=ВЕ=х.
По теореме Пифагора
АС^2+BC^2=AB^2;
(10+6)^2+(6+x)^2=(10+x)^2;
256+x^2+12x+36=x^2+20x+100;
8x=156;
x=19,5.
Периметр треугольника равен:
P=AC+BC+AB= AK+CK+CM+BM+AE+BE = 10+6+6+19,5+10+19,5 =
71 (дм).