1 x 4+ 2 x 7+ 3 x 10 +...n(3n+1)=n(n+1)^2

$1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+...+n(3n+1)=n(n+1)^2$
Решение:

1) $n=1$
   $4=4$ - выполняется условие;
2) Предположим, что и для $n=k$ тоже выполняется:
   $1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+...+k(3k+1)=k(k+1)^2$
3) Индукционный переход: $n=k+1$
$1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+...+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)^2$
   $k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)^2\\ \\(k+1)(k^2+k+3k+4)=(k+1)(k+2)^2\\ \\ (k+1)(k^2+4k+4)=(k+1)(k+2)^2\\ \\ (k+1)(k+2)^2=(k+1)(k+2)^2$

Что и требовалось доказать.