X^4-5x^3+8x^2-5x+1=0

$x^4+1-5x^3-5x+8x^2=0\\ \\ x^4+2x^2+1-2x^2-5x(x^2+1)+8x^2=0\\ \\ (x^2+1)^2-5x(x^2+1)+6x^2=0|:x^2\\ \\ ((x^2+1):x)^2-5(x^2+1):x+6=0$

Пусть $(x^2+1):x=t$ , тогда получаем

$t^2-5t+6=0$
По т. Виета:
$t_1=2;\\ t_2=3$

Обратная замена

$(x^2+1):x=2|\cdot x\\ x^2+1=2x\\ x^2-2x+1=0\\ (x-1)^2=0\\ x_1=1$

$(x^2+1):x=3|\cdot x\\ \\ x^2+1=3x\\ x^2-3x+1=0\\ D=b^2-4ac=9-4=5\\ \\ x_2_,_3= \dfrac{3\pm \sqrt{5} }{2}$

Ответ: $\dfrac{3\pm \sqrt{5} }{2} ;1.$