Найти предел

Question

Найти предел

Answer 1

Решение в приложении... Принцип решения: найти такие функции h(x) и g(x), чтоб для любого х выполнялось неравенство и доказать что h и g стремятся к нулю. (Принцип - теорема Кантора-Бернштейна-Шрёдера)

---

Comments

Как-то сложно, хотя на интуитивном уровне я понимала ответ, но решение не очень понятно(((

---

Давай по порядку: синус любого угла лежит на области значений [-1,1]. Так?

---

Я понимаю, что синус принимает любое значение [-1;1] и число/ бесконечность стремится к 0

---

Определим h(x)=-1 и g(x)=1. Видно что наша дробь всегда будет проходить меж этих функций (соблюдается неравенство, которое я указал в ответе). Теперь все члены неравенства поделим на 7х. Внимание! деление не меняет знак, так как х стремится к inf и потому, начиная с определённого места получит положительные значения

---

В результате получаем 1/x сверху и -1/x снизу от нашей дроби. Обе функции стремятся к нулю - значит и функция посередине сходится к нулю. Всё.

---

Почему мы берем именно эти h и g? Потому что они являются множеством значений синуса?

---

нет-нет. Мы берём любые две функции, которые выполняют неравенство и их предел в inf легко доказать. Мы могли так-же взять h(x)=-20 и g(x)=100. Функции постоянны, и не нужно доказывать их предел (тривиальный предел 1/x)

---

В народе называют - "метод бутерброда"

---

Ещё один пример: допустим мы хотим доказать что x^2 стремится к inf когда x стремится к inf. Мы знаем что выполняется неравенство x<x^2 для положительных х. Потому, вместо того, чтоб доказывать на x^2 мы доказываем что h(x)=x стремится к inf когда х стремится к inf. С х всё понятно: х стремится к inf исходя из условия примера. Но x^2 всегда больше х - значит приходит в inf ещё быстрее )) Вот так-то

Answer 2

Воспользуемся первым замечательным пределом предел синус 5х / 5х =1\ Для этого дробь разделим и умножим на 5х, выделим замечательный предел, сократим х и получим ответ 5/7.
Ответ: 5/7.

Comments

Ответ неверный. Sinx/x сходится к 1 когда x стремится к нулю, а тут inf.

---

Нет, первый замечательный предел при х стремящемся к 0