Составить уравнения касательных к графику кривой у²=36х, отведенных из точки А(2,9).

Question

Составить уравнения касательных к графику кривой у²=36х, отведенных из точки А(2,9).

Answer 1

Y²=36x
y=6√x
проверим не является ли точка точкой касания
6√2≠9
Пусть х0-точка касания.Точка А(2;9) принадлежит касательной.Подставим ее координаты в уравнение касательной
y=f(x0)+f`(x0)(x-x0)
6√x0+3/√x0*(2-x0)=9
6x0+3(2-x0)=9√x0,x0≠0
6x0+6-3x0-9√x0=0
3x0-9√x0+6=0
x0-3√x0+2=0
√x0=a
a²-3a+2=0
a1+a2=3 U a1*a2=2
a1=1⇒√x0=1⇒x0=1
a2=2⇒√x0=2⇒x0=4
Через данную точку проходит 2 касательных
y1=6+3(x-1)=6+3x-3=3+3x
y2=12+1,5(x-4)=12+1,5x-6=6+1,5x

Comments

Вы немного рисковали, рассмотрев у параболы только половину.

---

Нет, поскольку точка А находится в положительной полуплоскости, касательная к отрицательной ветви параболы от неё никак не попадёт!!!

Answer 2

X=2+k(y-9) - уравнение прямой, проходящей через данную точку; подставим в уравнение параболы:

y^2=72+36ky-324k;

y^2-36ky+(324k-72)=0.

Мы ищем момент, когда такая прямая коснется параболы, что означает, что две точки пересечения совпадут, а это в свою очередь означает обращение в ноль дискриминанта этого уравнения:

D/4=324k^2-324k+72=0; 18k=t;

t^2-18t+72=0;
(t-6)(t-12)=0; t=6 или t=12; k=1/3 или k=2/3.
Осталось подставить найденные k в уравнения:
  
x =2+(1/3)(y-9); 3x=6+y-9; 3x-y+3=0 и
 
x =2+(2/3)(y-9); 3x=6+2y-18; 3x-2y+12=0

Ответ: 3x-y+3=0;  3x-2y+12=0