Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и 20 вагонов, преодолевает...

0 голосов
65 просмотров

Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и 20 вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо него за такое же время, за какое проезжают последние 6 вагонов. Во сколько раз увеличивается скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя? Ответ округлить до целых. Считать, что локомотив и вагоны одинаковы по своей длине и расположены вплотную друг за другом.

Физика (181 баллов) | 65 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

ПЕРВЫЙ СПОСОБ:

Обозначим скорость поезда в начальный момент, как    v_o \ ,

скорость, когда только один вагон проехал мимо наблюдателя:    v_1 \ ,

когда только 6 последних вагонов не проехали наблюдателя:    v_6 \ ,

и скорость , когда весь состав проехал мимо наблюдателя:    v \ .

В соответствии с условием: интервалы времени от состояния    v_o    до    v_1 \ ,    и от состояния    v_6    до    v    – одинаковы, а значит и изменение скорости одинаковое, поскольку движение равноускоренное:

v - v_6 = v_1 - v_o \ ;      [1]

С другой стороны, от состояния    v_6    до    v    – поезд проезжает расстояние вшестеро большее, чем от состояния    v_o    до    v_1    – а значит, средняя скорость v_{6end}    вшестеро больше средней скорости    v_{o-1} .

v_{6end} = 6 v_{o-1} \ ;

v + v_6 = 6 v_1 + 6 v_o \ ;

Сложим с [1] :

v = 3.5 v_1 + 2.5 v_o \ ;      [2]

Поскольку разность квадратов краевых скоростей при одном и том же ускорении пропорциональна пройденному пути, то:

v^2 - v_o^2 = 21 ( v_1^2 - v_o^2 ) \ ,
так как вся длина поезда составляет    20    вагонов + локомотив.

Подставляем [2] и получаем:

( 3.5 v_1 + 2.5 v_o )^2 = 21 v_1^2 - 20 v_o^2 \ ;

12.25 v_1^2 + 17.5 v_1 v_o + 6.25 v_o^2 = 21 v_1^2 - 20 v_o^2 \ ;

8.75 v_1^2 - 17.5 v_1 v_o - 26.25 v_o^2 = 0 \ ; \ \ \ \ || : 8.75 v_o^2 }

(\frac{v_1}{v_o})^2 - 2 \cdot \frac{v_1}{v_o} - 3 = 0 \ ;

\frac{v_1}{v_o} \in \{ -1 , 3 \} \ ;

v_1 = 3 v_o \ ;

Из [2]:

v = 3.5 v_1 + 2.5 v_o = 3.5 \cdot 3 v_o + 2.5 v_o = 13 v_o \ ;

ОТВЕТ:    \frac{v}{v_o} = 13 \ .





ВТОРОЙ СПОСОБ:

Запишем уравнение движения передней точки поезда относительно наблюдателя:

S = v_o t + \frac{at^2}{2} \ ;

Обозначим длину вагона, как    L .

Локомотив, потом почти весь состав без 6 вагонов, и затем весь состав –
– проедут через время    t_o , t_6    и    t :

L = v_o t_o + \frac{a t_o^2}{2} \ ;        [1]

15L = v_o t_6 + \frac{a t_6^2}{2} \ ;        [2]

21L = v_o t + \frac{a t^2}{2} \ ;

Вычтем из последнего – предпоследнее:

6L = v_o ( t - t_6 ) + \frac{a}{2} ( t^2 - t_6^2 ) \ ;

Поскольку    t - t_6 = t_o ,    то, используя [1]:

6L = v_o t_o + \frac{a t_o}{2} ( t + t_6 ) = 6 v_o t_o + 6 \cdot \frac{a t_o^2}{2} \ ;

v_o + \frac{a}{2} ( t + t_6 ) = 6 v_o + 6 \cdot \frac{a t_o}{2} \ ;

t + t_6 = \frac{10v_o}{a} + 6 t_o \ ;

t_6 + t_o + t_6 = \frac{10v_o}{a} + 6 t_o \ ;

t_6 = \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o \ ;

t = t_6 + t_o = \frac{5v_o}{a} + 3.5 t_o \ ;            [3]


Учитывая [2] :

15L = v_o ( \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o ) + \frac{a}{2} ( \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o )^2 \ ;

Используя [1] :

15L = \frac{35v_o^2}{2a} + 15 v_o t_o + \frac{ 25 a t_o^2 }{8} = 15 v_o t_o + 15 \cdot \frac{a t_o^2}{2} \ ;

\frac{35v_o^2}{2a} = \frac{ 35 a t_o^2 }{8} \ ;

4 \frac{v_o^2}{a} = a t_o^2 \ ;

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=+%28+%5Cfrac%

(7.5k баллов)
0 голосов

ТРЕТІЙ СПОСОБЪ:

Сдѣлаемъ дополнительныя построенія въ пространствѣ и во времени. Пусть длина вагона равна    L \ .    Пусть передъ тѣмъ, какъ передняя точка локомотива равняется съ наблюдателемъ – поѣздъ неограниченное время ужѣ ѣдетъ съ тѣмъ же ускореніемъ. За начало отсчета времени примемъ тотъ моментъ, когда скорость поѣзда была равна нулю. Въ такомъ случаѣ уравненіе движенія поѣзда упростится и не будетъ содержать начальной скорости, однако, когда передняя точка локомотива поравняется съ наблюдателемъ – поѣздъ ужѣ проѣдетъ нѣкоторое разстояніе    xL \ .

Время    t_o    въ это мгновеніе можно выразить, какъ:

xL = \frac{at_o^2}{2} \ ;

t_o = \sqrt{ \frac{2xL}{a} } \ ;      [1]

Аналогично имѣемъ время    t_1 \ ,    когда проѣдетъ локомотивъ:

t_1 = \sqrt{ \frac{2(x+1)L}{a} } \ ;

Время    t_6 \ ,    когда проѣдетъ почти вѣсь поѣздъ, но всё жъ пока-таки безъ шести вагоновъ:

t_6 = \sqrt{ \frac{2(x+15)L}{a} } \ ;

Время    t \ ,    когда въ концѣ концовъ проѣдетъ вѣсь поѣздъ:

t = \sqrt{ \frac{2(x+21)L}{a} } \ ;      [2]

Изъ равенства времёнъ, имѣющагося въ условіи:

t - t_6 = t_1 - t_o \ ;

\sqrt{ \frac{2(x+21)L}{a} } - \sqrt{ \frac{2(x+15)L}{a} } = \sqrt{ \frac{2(x+1)L}{a} } - \sqrt{ \frac{2xL}{a} } \ ;

\sqrt{ x + 21 } - \sqrt{ x + 15 } = \sqrt{ x + 1 } - \sqrt{x} \ ;

2x + 36 - 2 \sqrt{ ( x + 21 ) ( x + 15 ) } = 2x + 1 - 2 \sqrt{ x ( x + 1 ) } \ ;

35 + 2 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 2 \sqrt{ ( x + 21 ) ( x + 15 ) } \ ;

1225 + 140 \sqrt{ x ( x + 1 ) } + 4 x^2 + 4x = 4 ( x^2 + 36x + 315 ) \ ;

140 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 140x + 35 \ ;

4 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 4x + 1 \ ;

16x^2 + 16x = 16x^2 + 8x + 1 \ ;

8x = 1 \ ;

x = \frac{1}{8} \ ;

Изъ выраженій [1] и [2] съ числовымъ значеніемъ    x    ужѣ и слѣдуетъ отвѣтъ на вопросъ задачи:

\frac{v}{v_o} = \frac{at}{at_o} = \frac{t}{t_o} = \frac{ \sqrt{ 2L(x+21)/a } }{ \sqrt{ 2Lx/a } } = \sqrt{ \frac{ 2L(x+21)/a }{ 2Lx/a } } = \sqrt{ \frac{ x + 21 }{ x } } = \\\\\\ = \sqrt{ 1 + \frac{21}{x} } = \sqrt{ 1 + \frac{21}{1/8} } = \sqrt{ 1 + 21 \cdot 8 } = \sqrt{ 169 } = 13 \ ;


ОТВѢТЪ :    \frac{v}{v_o} = 13 \ ;



(137 баллов)
Похожие задачи