В прямоугольном треугольнике,гипотенуза 25 см,а высота 12см.Найти :катет...

Пусть AB и BC - катеты, AC - гипотенуза, BH - высота.

Высота в прямоугольном треугольнике является средним геометрическим для проекций катетов на гипотенузу, т.е. $BH= \sqrt{AH*HC}$ .

Пусть $AH = x$ см, $HC = (25 - x)$ см. Тогда:

$144 = x(25 - x)$

$144 = 25x - x^2$

$-x^2 + 25x - 144 = 0$

$x^2 - 25x + 144 = 0$

По обратной теореме Виета:
x₁ + x₂ = 25
x₁*x₂ = 144

x₁ = 16
x₂ = 9

Значит, проекции катетов на гипотенузу равны 16 см и 9 см (т.е. $AH = 16 cm, HC = 9 cm$ ).

По теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{16 ^{2} +12 ^{2} } = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20cm.$

$BC = \sqrt{BH^2 + HC^2} = \sqrt{12^{2} + 9^{2} } = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15cm.$

Ответ: 20 см; 15 cм; 9 см; 16 см.