. В трапеции ABCD (BC и AD - параллельны) диагонали пересекаются в точке О. Площадь...

$ABCD-$ трапеция
$BC$ ║ $AD$
$AC$ ∩ $BD=O$
$S_{BOC}=3$
$S_{AOD}=27$
$AO=6$
$AC-$ ?

Рассмотрим Δ $BOC$ и Δ $AOD$ :
$\ \textless \ OAD=\ \textless \ OCB$ (как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC)
$\ \textless \ BOC=\ \textless \ DOA$ ( как вертикальные)
Значит Δ $BOC$ подобен Δ $AOD$ ( по двум углам)
Воспользуемся теоремой об отношении площадей подобных треугольников:
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$\frac{S_{BOC} }{ S_{AOD} }=k^2$
$\frac{3 }{27}=k^2$
$\frac{1 }{9}=k^2$
$k=\frac{1 }{3}$
Так как Δ $BOC$ подобен Δ $AOD$ и коэффициент подобия равен k, то
$\frac{OC}{AO}= \frac{OB}{DO}= \frac{BC}{AD}=k$
$\frac{OC}{AO}=k$
$\frac{OC}{6}= \frac{1}{3}$
$OC=2$
$AC=OC+OA$
$AC=2+6=8$

Ответ: 8