Пусть дан произвольный выпуклый четырехугольник АВСК. Периметр четырехугольника это сумма всех его сторон.
Нужно доказать, что (АВ+ВС+СК+АК)/2 < АС+ВК < АВ+ВС+СК+АК
Учитывая неравенство треугольника
AC
сложив которые
получим, что
АС+ВК<АВ+ВС+СК+АК</p>
Пусть О - точка пересечения диагоналей(они пересекаются так как четырехугольник выпуклый)
Снова используя неравенства треугольника
АB
сложив которые
AB+BC+CK+AK<2*(AO+OC+BO+KO)</p>
или тто же самое что
AB+BC+CK+AK<2*(AC+BK)</p>
или
(АВ+ВС+СК+АК)/2<АС+ВК</p>
таким образом доказана вторая часть требуемого.
Доказано