Помогите найти пределы

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1) переводим иррациональность из числителя в знаменатель:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^{ \frac{3}{2}} \cdot(x^3+2-x^3+2) }{\sqrt{x^3+2}+\sqrt{x^3-2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^{ \frac{3}{2}} }{\sqrt{x^3+2}+\sqrt{x^3-2}} = \frac{\infty}{\infty}$

Чтобы устранить неопределенность (∞/∞) делим и числитель и знаменатель на х в степени 3/2.

$\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1+ \frac{2}{x^{ \frac{3}{2} }} }+\sqrt{1+ \frac{2}{x^{ \frac{3}{2} }} }}= \frac{4}{1+1}=2$

2) Неопределенность 1^(∞). Применяем второй замечательный предел.
Выделяем целую часть из дроби 4х/(4х+2). Для этого прибавим 2 и отнимем 2 в числителе:
(4х+2-2)/(4х+2).
Делим (4х+2) на (4х+2) получаем 1 и дробь (-2/(х+2))
$\lim_{x \to \infty} (1- \frac{2}{4x+2})^{ \frac{1}{ \frac{-2}{4x+2} } }}=e$

Показатель степени преобразуем так.
Разделим на (-2/(4х+2)) и умножим на это же выражение.
Это выражение в знаменателе и дает е

Окончательно
$e^{ \lim_{x\to \infty} \frac{(2-3x)(-2)}{(4x+2)} }=e^{ \lim_{x\to \infty} \frac{(6x-4)}{(4x+2)} }=e^{ \frac{6}{4} }=e^{ \frac{3}{2} }$

3) Выносим e⁻ˣ за скобки

$= \lim_{x \to \infty} \frac{e^{-x}\cdot (e^{-x}-1)}{arcsin \frac{x}{2} }=$

делим числитель и знаменатель на х
О т в е т. -1/(1/2)=-2.

nafanya2014_zn (414k баллов) 09 Май, 18