27. Докажите, что радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой...

Question

27. Докажите, что радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой r=2S/a+b+c,где а,b, с - стороны треугольника, S - его площадь.
28.Докажите, что радиус R окружности, описанной около треугольника, выражается формулой R=a*b*c/4S,где а,b, с - стороны треугольника, S - его площадь.

Answer 1

1. Если соединить центр вписанной окружности с вершинами, то треугольник "разобьется" на три, и в каждом роль высоты будет играть радиус в точку касания. Отсюда сразу следует нужная формула S = pr;  p - полупериметр. Полезно запомнить её именно в этом виде. Важно и то, что такая формула справедлива не только для треугольника, но и для любого выпуклого многоугольника, в который можно вписать окружность.
2. Высота к стороне a равна b*sin(C), откуда S = a*b*sin(C)/2; при этом по теореме синусов c = 2*R*sin(C); или sin(C) = c/(2*R); откуда S = a*b*c/4R чтд.