Найдите объем пирамиды в основании которой лежит параллелограмм с диагоналями 4 и 2...

ABCD - параллелограмм, лежащий в основании пирамиды ABCDE.

Диагонали параллелограмма AC и BD пересекаются в точке О и этой точкой делятся пополам, т.е. AO = OC = 2, BO = OD = корень из 3.

Из треугольника AOB по теореме косинусов:

$\\AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot\cos\hat{AOB}\\AB^2=4+3-2\cdot2\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=7-2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3=7-6=1\\ AB=1$

AB = CD - меньшая строна параллелограмма, т.к. лежит против меньшего угла (угол AOB = 30⁰, угол BOC = 150⁰). То есть высота пирамиды OE = 1.

Площадь основания (параллелограмма):

$\\S_{OCH}=\frac12AC\cdot BD\cdot\sin\hat{AOB}=\frac12\cdot4\cdot2\sqrt3\cdot\frac12=2\sqrt3$

Объём пирамиды:

$\\V=\frac13S_{OCH}\cdot h=\frac13\cdot2\sqrt3\cdot1=\frac{2\sqrt3}3$