4^x-(5b-3)*2^x+4b^2-3b=0 Найти все значения b, при которых уравнение будет иметь 1 корень.

Question

4^x-(5b-3)*2^x+4b^2-3b=0
Найти все значения b, при которых уравнение будет иметь 1 корень.

Answer 1

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно 2^x
Оно будет иметь одно решение при D=0
D= (5b-3)²-4×1×(4b²-3b)=9b²-18b+9
⇒ 9b²-18b+9=0
    b²-2b+1=0
    (b-1)²=0
    b=1

Рассмотрим случай, когда одно из значений меньше нуля (это невозможно потому что 2^x всегда больше 0):
2^x= (5b-3+ √(9b^2-18b+9))/2
или
2^x= (5b-3- √(9b^2-18b+9))/2

2^x= (5b-3+ 3√(b^2-2b+1))/2
или
2^x= (5b-3- 3√(b^2-2b+1))/2
Далее, используя формулу квадрата разности:
2^x=4b-3
или
2^x=b
Получаем, что только одно из них положительно при b, принадлежащем (0 ; 3/4]

Comments

А как же случай когда уравнение имеет два корня, но один из них отрицательный?

---

Исправил

---

Там же должен быть √D, в формуле корней) Поэтому и ответ получился кривой.

---

Можно кстати сразу проще сделать. По теореме Виета произведение корней равно 4b^2-3b. Один корень будет меньше нуля, а второй больше только при 4b^2-3b<0