Из всех цилиндров с объемом 54П см^3, найтм цилиндр с наименьшей полной поверхностью

Question

Из всех цилиндров с объемом 54П см^3, найтм цилиндр с наименьшей полной поверхностью

Answer 1

Объём цилиндра радиусом R и высотой h равен V=π*R²*h=54*π⇒R²*h=54. Площадь поверхности этого же цилиндра равна S=2*π*R*h=2*π*54/R=108*π/R. Таким образом, площадь поверхности будет тем меньше, чем больше радиус цилиндра. А высота цилиндра, видимо, определяется возможностью изготовителя цилиндра.

Comments

Может, я что-то не так понял, пишите, если нужно - поподробнее напишу.

Answer 2

Формула нахождения объема цилиндра V=πr²h=54π.
Выразим высоту h=54/r².
Формула полной поверхности цилиндра S=2πr²+2πrh.
Подставим в эту формулу h:
S=2πr²+2πr*54/r²=2πr²+108π/r.
Представим полученную формулу как функцию площади, тогда минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума. Для нахождения экстремума дифференцируем (находим производную):
S'(r)=4πr-108π/r²;
Приравниваем производную к нулю:
4πr-108π/r²=0;
4πr³=108π;
4r³=108;
r³=27;
r=3 (см).
Находим значение h=54/r²=54/9=6 (см).
Таким образом, минимальная площадь данного цилиндра будет достигнута при r=3 см и h=6 см.
S=2πr(r+h)=2π*3(3+6)=6π*9=54π (см²)