2) n=k;
ak=k^2
a(k+1)=(k+1)^2
Sk=k(k+1)(2k+1)/6
теперь k+1:
S(k+1)=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
значит:
S(k+1)=Sk+a(k+1)
теперь доказываем это тождество и если оно верно, то все правильно:
(k+1)(k+2)(2k+3)/6=(k(k+1)(2k+1)/6)+(k+1)^2
(k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2)/6=(k+1)(2k^2+k+6k+6)/6=(k+1)(2k^2+7k+6)/6=
раскладываем на множители трехчлен:
2k^2+7k+6=0; D=1; k1=-1,5; k2=-2; 2(k+1,5)(k+2)=(2k+3)(k+2)
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
(k+1)(k+2)(2k+3)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
доказано.
4)ak=(2k-1)^3
a(k+1)=(2k+1)^3
Sk=k^2(2k^2-1)
S(k+1)=(k+1)^2*(2(k+1)^2-1)=(k+1)^2*(2k^2+4k+2-1)=(k+1)^2*(2k^2+4k+1)=(k^2+2k+1)(2k^2+4k+1)=2k^4+4k^3+k^2+4k^3+8k^2+2k+2k^2+4k+1=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1
значит:
S(k+1)=Sk+a(k+1)
теперь делаем тоже самое:
Sk+a(k+1)=k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3=2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1;
сравнялись:
2k^4+8k^3+11k^2+6k+1=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1
доказано.