Я буду демонстрировать верность для базы и доказывать шаг, все утверждение будет верно по аксиоме математической индукции
6)
База: n=1, 4^2-1 = 15 делится на 5
Шаг: Пусть 4^2n-1 делится на 5, то есть 4^2n-1 = 5k
Тогда для n+1 имеем
Последнее очевидно делится на 5.
7)
База: n=1, n^3+11n = 1+11 = 12 делится на 6
Шаг: пусть n^3+11n делится на 6, то есть n^3+11n = 6k
Тогда для n+1
Первые два слагаемые очевидно делятся на 6, последнее тоже делится на 6, ибо делится на 3 и на 2 тоже, потому что хотя бы одно из n и n+1 четно.
8)
База: n=1, 4^n+15n = 4+15 = 19 делится на 9 с остатком 1
Шаг: пусть 4^n+15n делится на 9 с остатком 1, то есть 4^n+15n = 9k+1
Тогда для n+1
Последнее выражение очевидно дает 1 в остатке при делении на 9
10)
База: n=2, 2^n=4>3
Шаг: пусть 2^n>n+1, тогда для n+1
11)
База n=5, 2^n = 32>25
Шаг: пусть 2^n>n^2, тогда для n+1
В этой цепочке используется тот факт, что при n>=5, n^2>2n+1.Докажем это
Так как 5>1+√2, мы заключаем, что сделали правильный переход
9)
База: n=1, 1+2+3+4+5 = 15 делится на 15
Шаг: пусть 1+2^(2n-1)+3^(2n-1)+4^(2n-1)+5^(2n-1) = 15k
тогда для n+1
Первые 3 слагаемых очевидно делятся на 15 без остатка, разберемся с 2 остальными
первое делится на 15, второе делится на 3, осталось доказать что выражение в скобках кратно 5, сделаем по индукции
База: n=1, 2+3 = 5 делится на 5
Шаг: пусть 2^(2n-1)+3^(2n-1) = 5m, тогда для n+1
Последнее делится на 5, что по обратной цепочке доказывает верность шага главной индукции
12)
База: n=1, 1>2√2-2, что легко проверить,так как 2√2-2 это где-то 0.82
Шаг: пусть
Тогда для n+1
Убедимся в справедливости последнего неравенства
Последнее неравенство верно для любого натурального, а значит, верен и шаг индукции