Подать заявку Личный кабинет
Главная
Положение о фестивале и конкурсах
Поиск по сайту
Разделы
Конкурс «Презентация к уроку»
Конкурс по экологии «Земля – наш общий дом»
Конкурс «Электронный учебник на уроке»
Конкурс региональной истории России
Астрономия
Биология
Начальная школа
География
Иностранные языки
Информатика
История и обществознание
Краеведение
Литература
Математика
Музыка
МХК и ИЗО
ОБЖ
ОРКСЭ
Русский язык
Спорт в школе и здоровье детей
Технология
Физика
Химия
Экология
Экономика
Администрирование школы
Видеоурок
Внеклассная работа
Дополнительное образование
Инклюзивное образование
Классное руководство
Коррекционная педагогика
Логопедия
Мастер-класс
Общепедагогические технологии
Организация школьной библиотеки
Патриотическое воспитание
Работа с дошкольниками
Работа с родителями
Социальная педагогика
Урок с использованием электронного учебника
Школьная психологическая служба
Исследовательская работа "Ключ к угадыванию цифры"
Иванова Валентина Ивановна, учитель математики
Разделы: Математика
Математика_.png
Основная часть
I. Нахождение последней цифры в записи степени натурального числа.
После изучения темы “Степень с натуральным показателем” была предложена такая задача: найти последнюю цифру степеней:
а) , , , , ;
б) , .
Мы заметили, что в первом случае показатели степеней составные числа, а во втором случае показатели степеней простые числа. В обоих случаях есть основания четные и нечетные. Мы сначала попробовали представить степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями, затем воспользовались со свойствами степеней с натуральными показателями
Например, = *** или
В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше определили искомую цифру как последнюю цифру числа . Получили 1. Во втором случае сначала нашли последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1. Второй способ нам понравился больше. Аналогично нашли последнюю цифру остальных степеней.
В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n на 6.
Но вторая задача достаточно сложная, так как показатели степеней простые числа и мы не можем представить эти степени в виде произведения степеней с одинаковыми показателями, как делали раньше. Но мы нашли способы решения.
= * * * * или
999931 3
3
1 3 3
3
Значит, последняя цифра степени равна 3.
Мы решили найти более удобный, универсальный способ нахождения последней цифры степени.
Решили заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во - второй строке - цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.
n1234567890
1496569410
1874563290
1616561610
1234567890
1496569410
Мы заполнили пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.
К нашему удивлению, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.
После решения этих примеров и заполнения таблицы мы пришли к выводу, что:
Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные - цифрой 6.