гладкой горизонтальной поверхности покоится клин массой M. грань, составляющей угол...

Question

93 просмотров

На гладкой горизонтальной поверхности покоится клин массой M. На грань, составляющей угол 30 градусов с горизонтом, падает шар массой m со скоростью v. В результате клин начинает двигаться. Определите скорость клина. Время удара мало, удар считать абсолютно упругим.

Физика logophobia2_zn (137 баллов) 09 Май, 18 | 93 просмотров

И вот ещё. Соображения из реальной физики. Пусть плоская доска с конечной упругостью лежит на плоском упругом полу с конечной упругостью. Мы упруго ударяем сверху по доске. Пусть удар длится конечное время t. Доска лежит на поверхности, а значит, на неё действует сила нормальной реакции пола, которая продиктована мизерным "прогибом" упругого пола на λ. Во время удара сверху доска бы полетела вниз, если бы не пол.

оставил комментарий logophobia_zn (7.5k баллов) 09 Май, 18

Скомпенсировать силу давления на доску сверху может только пол, а стало быть, пол будет действовать во время удара на доску с увеличенной силой нормальной реакции. Для увеличения силы реакции пол должен прогнуться до какого-то более низкого значения, пусть до nλ. А это значит, что и доска опустится в новое положение, ниже начального на (n–1)λ. Т.е. доска будет двигаться вниз! И что же при этом будет с ускорением доски? Оно будет равно нулю?

оставил комментарий logophobia_zn (7.5k баллов) 09 Май, 18

Нет, оно будет стремиться остановить доску, чтобы та перестала "падать" в пол. Т.е. сумма сил давления на доску сверху с её тяжестью – будет МЕНЬШЕ нового значения силы нормальной реакции. Таким образом, в процессе резкого удара по доске сверху – она получит вертикальный импульс ВВЕРХ от пола и отскочит! Что и наблюдается в простейшем эксперименте резкого удара по доске, лежащей на полу, после которого доска подскакивает.

оставил комментарий logophobia_zn (7.5k баллов) 09 Май, 18

Ещё раз поясню, что данное решение не является правильным, поскольку не приводит ни к какому внятному результату, как и любая попытка решения при помощи только законов сохранения «задачи мгновенного взаимодействия сразу трёх тел». А лишь призвано проиллюстрировать невозможность такого решения без привлечения сопромата и детального знания упругих свойств материалов, из которых изготовлены участники взаимодействия.

оставил комментарий logophobia_zn (7.5k баллов) 09 Май, 18

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Хотя известно, что при решении с помощью законов сохранения задачи мгновенного взаимодействия сразу более чем двух тел, получается недостаточное число уравнений – всё же попытаемся решить данную задачу, как мгновенное взаимодействие сразу трёх тел: шар, клин и Земля, с учётом того, что кинетическая энергия Земли в таком решении будет стремиться к нулю (чего, однако нельзя сказать о частично уносимым ею вертикальном импульсе).

Задачу будем решать для абстрактных математических объектов, для которых ровный или плоский – означает математическую плоскость, а вплотную означает зазор точно равный нулю. Гравитация нам вообще не нужна.

Построим модель. Пусть снизу расположен массивный протяжённый куб (или любой другой подстилающий массивный объект с плоской поверхностью) с массой $\mu$ . На этом кубе вплотную к нему сверху расположен клин массой $M ,$ с углом наклона к поверхности куба $\alpha = 30^o ,$ который без трения может двигаться по кубу. Поперечно к подстилающей поверхности движется шар, сталкивающийся с клином. Взаимодействие трёх тел далее считаем упругим. Для простоты решения начальный импульс будет считать проходящим через центр масс системы трёх тел, так чтобы не было момента импульса и дополнительных неизвестных в виде угловых скоростей этих тел.

Определим направления проекций конечных скоростей в системе координат, ориентированной ортогонально к кубу. Для большей иллюстративности, все искомые величины будем искать в виде положительных чисел, строго объявляя направления самих векторов скорости в тексте. Если мы получим при решении уравнений отрицательное число, это просто будет означать, что начальную постановку знака/направления нужно просто изменить на противоположную. Но тут по идее, такому даже негде взяться, всё более менее понятно по направлениям. Абсолютное значение вектора скорости нам особо нигде не нужно, так что горизонтальные составляющие скоростей будем записывать для простоты без индексов, а вертикальные с обычным индексом $v_y .$

Введём обозначения. Скорость шара $m : v_o$ – до соударения направлена вниз, после соударения $v$ – от клина по горизонтали; и вверх по вертикали $v_y .$ Скорость клина $M : V$ – после соударения от шара по горизонтали; и вверх от куба по вертикали $V_y .$ Скорость куба $\mu : u$ – после соударения направлена вниз. Итак, у нас имеется 5 неизвестных. Для них мы сможем составить 4 уравнения и поколдовать над ними в предельном случае, когда $\mu \to +\infty .$

Запишем все 4 уравнения. Первые два – законы сохранения импульса по вертикали и горизонтали. Третье – связь начального и конечного импульса шара, продольная составлявшая которого вдоль поверхности клина должна сохраниться в силу поперечности взаимодействия верхней пары тел. Четвёртое уравнение: закон сохранения энергии.

$mv_o = \mu u - mv_y - M V_y ;$ ЗСИ по вертикали.

$mv = M V ;$ ЗСИ по горизонтали.

$v_o \sin{ \alpha } = v \cos{ \alpha } - v_y \sin{ \alpha } ;$ неизменность продольной составляющей

$mv_o^2 = mv^2 + mv_y^2 + M V^2 + M V_y^2 + \mu u^2 ;$ ЗСЭ

Система записана, разгребём её, оставив только $V$ и $u .$

$v = \frac{M}{m} V ;$

$v_y = v ctg{ \alpha } - v_o ;$

$v_y = \frac{M}{m} V ctg{ \alpha } - v_o ;$

$mv_o = \mu u - m ( \frac{M}{m} V ctg{ \alpha } - v_o ) - M V_y ;$

$V_y = \frac{\mu}{M} u - V ctg{ \alpha } ;$

Теперь у нас есть три переменные, выраженные, через две другие. Подставим их в ЗСЭ:

$mv_o^2 = \frac{M^2}{m} V^2 + m(\frac{M}{m} V ctg{ \alpha } - v_o)^2 + M V^2 + M (\frac{\mu}{M} u - V ctg{ \alpha })^2 + \mu u^2 ;$

$mv_o^2 = \frac{M^2}{m} V^2 + \frac{M^2}{m} V^2 ctg^2{ \alpha } - 2 M v_o V ctg{ \alpha } + m v_o^2 +\\\\+ M V^2 + \frac{\mu^2}{M} u^2 - 2 \mu u V ctg{ \alpha } + M V^2 ctg^2{ \alpha } + \mu u^2 ;$

$( \frac{M^2}{m} + \frac{M^2}{m} ctg^2{ \alpha } + M + M ctg^2{ \alpha } ) V^2 - 2 M v_o V ctg{ \alpha } + \frac{\mu^2}{M} u^2 - 2 \mu uV ctg{ \alpha } + \mu u^2 = 0 ;$

$M \frac{ 1 + M/m }{ \sin^2{ \alpha } } V^2 - 2 M v_o V ctg{ \alpha } + \frac{\mu^2}{M} u^2 - 2\mu u V ctg{ \alpha } + \mu u^2 = 0 ;$

При устремлении массы Земли $\mu \to +\infty , E_{K\mu} \to 0 ,$
но импульс Земли $p = \mu u$ – остаётся конечным!

$M \frac{ 1 + M/m }{ \sin^2{ \alpha } } [V]^2 - 2 M v_o ctg{ \alpha } [V] + \frac{1}{M}[p]^2 - 2 ctg{ \alpha } [p] [V] = 0 ;$

Как легко видеть – это уравнение непредельного эллипса в координатах $( V , p ) ,$ проходящего через начало координат, а стало быть при различных значениях $p$ мы будем получать различные значения $V .$ Т.е. предположение о том, что при любом значении параметра $p$ – находилось бы фиксированное решение квадратного уравнения $V = V_{lim}$ , не верно.

ПРОДОЛЖЕНИЕ НА ИЛЛЮСТРАЦИЯХ >>>

<img src="/?qa=blob&qa_

logophobia_zn (7.5k баллов) 09 Май, 18

Да. олимпиадная. И в некоторых сборниках, типа «авторских», она решена некорректно, самим же автором. При решении постулирется, что упругость нижнего взаимодействия (клина с полом) – бесконечна, а верхнего (шара с клином) – небесконечна. При таком решении получается «чёткий ответ», а «чёткий ответ» на эту задачу полчить невозможно. Можно найти лишь диапазон, т.е. верхнюю и нижнюю грани множества различных решений.

оставил комментарий logophobia2_zn (137 баллов) 09 Май, 18

** гладкой горизонтальной поверхности покоится клин массой M. ** грань, составляющей угол...

гладкой горизонтальной поверхности покоится клин массой M. грань, составляющей угол...