Жить - Родине служить .Жить подлежащее.
Только надежда (какая?) спасти сына поддерживала ее. определение
Я прошу вас (о чем?) говорить по существу дела. дополнение.
Путники расположились у ручья (с какой целью?) отдыхать и кормить лошадей. обстоятельство