После броска вертикально вверх камень возвращается назад через время Т. Найти временной...

Уравнение движения камня (ось Y вверх)

$y(t) = v_0t-gt^2/2$

Это парабола с ветвями вниз, а значит максимум достигается в вершине:

$t_{\max} = -v_0/(-2g/2) = v_0/g\\ y_{\max} = y(t_{\max}) = v_0^2/2g$

Теперь решим уравнение

$y(t) = y_{\max}/2 = v_0^2/4g\\\\ v_0t-gt^2/2 = v_0^2/4g\\ gt^2-2v_0t+v_0^2/2g = 0\\\\ D/4 = v_0^2 - v_0^2/2 = v_0^2/2\\\\ t_{1,2} = [v_0\pm v_0/\sqrt{2}]/g\\\\ t_2-t_1 = \frac{2v_0}{\sqrt{2}g}$

Само время всего полета находится как больший корень уравнения

$y(T) = 0\\ v_0T-gT^2/2 = 0\\ T = 2v_0/g\\\\ t_2-t_1 =\frac{2v_0}{\sqrt{2}g} = \frac{T\sqrt{2}}{2}$