В прямоугольном треугольнике ABC катет CA равен b, катет CB равен a, CH - высота, AM -...

Question

В прямоугольном треугольнике ABC катет CA равен b, катет CB равен a, CH - высота, AM - медиана. Найти площадь треугольника BMH.

Comments

А как СА - катет, если в любом случае это гипотенуза?

---

С - прямой угол, противолежащая ему сторона АВ - гипотенуза.

---

Вы не правы: в написании угла, по правилу, средняя буква(В) и есть прямой угол, а крайние буквы(А и С)составляют гипотенузу

---

да, я не прав, опять решил не ту задачу :))) а насчет прямого угла вы не правы - буквой С всегда обозначается прямой угол. Впрочем, стороны не знают, как их называют

---

Кстати, насчет прямого угла. Маленькими буквами всегда обозначают сторону, противоположную углы, обозначенному такой же большой. В прямоугольных треугольниках принято гипотенузу называть буквой с (с^2 = a^2 + b^2); значит, противоположный ей прямой угол должен называться С. Хотя (повторяю :)) он этого не знает.

---

противоположную углы"

---

углу, конечно

Answer 1

Если обозначить h = CH; y = AH; x = NH; c = AB; то N - середина гипотенузы АВ.
с^2 = a^2 + b^2; 
h = a*b/c; (площадь можно записать, как a*b/2; а можно как c*h/2;)
Из подобия треугольников АВС и СНВ;  y/b = h/a;то есть y = b*h/a;
x = y - c/2; 
Площадь СNН равна
x*h/2 = (y - c/2)*h/2 = y*h/2 - c*h/4 = (b/a)*h^2/2 - a*b/4 = (b/2a)*a^2*b^2/(b^2 + a^2) - a*b/4 = a*b^3/(2*(b^2 + a^2)) - a*b/4 = a*b/(4*(b^2 + a^2)*(2*b^2 - b^2 - a^2) =
= (a*b/4)*(b^2 - a^2)/(b^2 + a^2);
Это площадь CNH. Я не заметил, надо найти площадь не этого треугольника. Ну так найду еще и этого :)) М - середина СВ, площадь ВНМ равна половине площади СНВ, площадь СНВ равна z*h/2; где z = BH;
То есть надо найти s = z*h/4;
Опять таки из подобия СНВ и АСН 
z/a = h/b;
h/a = y/b; 
то есть y/z = (b/a)^2; 
c = z*(1 + (b/a)^2); 
ch/2 = (z*h/2)*(1 + (b/a)^2); 
a*b/2 = (2*s)*(1 + (b/a)^2); 
s = (a*b/4)/(1 + (b/a)^2)

Comments

a*b/4 - это половина площади АВС. Если b = a, то М совпадает с Н и площадь СМН равна 0; если b >> a, то площадь СНВ очень мала, и площадь СМН почти равна половине площади АВС.

---

Мала по сравнению с площадью АСН

---

комментарий неправильный, он касается треугольника CHN, а не СНМ