Виталик остался ночевать в сторожке
остался гл. в форме прошедшего времени, суффикс -Л- указывает на прошедшее время
ночевать гл.в неопределенной форме=инфинитиве ,-ть указывает на то,что гл. стоит в н.ф.
Виталик 2 скл именительный падеж
в сторожке(сторожка) 1 скл. предложный падеж