Можно это доказать, что точки лежащие на равном удалении от концов данного отрезка A B, - середины перпендикуляр.
Рассмотрим серединый перпендикуляр.Возьмем на нем любую точку X. В треугольнике AXB совпадают Медина и высота, тогда он равнобедренный, и XA=XB.
В другую сторону :пусть нашлась точка X, равноудаленная, от концов отрезка и не лежащая на серединой перпендикуляре. Опустим перпендикуляр из точки Х. По условию треугольник равнобедренный, так что основание перпендикуляра-середина АВ.
Имеет две не совпадающие высоты, проходящие через одну точку.
Так как через две точки можно провести ровно одну прямую, то через две точки М и N, лежащие на серединой перпендикуляре, проходит только середины перпендикуляр.