Вычеслите предел последовательности

Question 1

Question 2

Понадобиться формула разности кубов:
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
в нашем случае
а=∛n
b=∛(n-1)

Чтобы избавиться от неопределенности вида {∞-∞}, домножим числитель на выражение, чтобы получилась разность кубов и сразу же разделим на это выражение, чтобы результат не изменился

$\lim_{n \to \infty} ( \sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n-1} )=\{ \infty-\infty\}= \\ \\ \lim_{n \to \infty} \frac{( \sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n-1} )( \sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n} * \sqrt[3]{n-1} +\sqrt[3]{(n-1)^2})}{( \sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n} * \sqrt[3]{n-1} +\sqrt[3]{(n-1)^2})}= \\ \\ \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt[3]{n} )^3- (\sqrt[3]{n-1})^3}{( \sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n} * \sqrt[3]{n-1} +\sqrt[3]{(n-1)^2})} = \\ \\$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n-n+1}{ \sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n} * \sqrt[3]{n-1} +\sqrt[3]{(n-1)^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n} * \sqrt[3]{n-1} +\sqrt[3]{(n-1)^2}} = \\ \\ = \frac{1}{\infty} =0$

Alexandr130398_zn · Answer 1 · 2018-05-09T06:52:38+0000

Понадобиться формула разности кубов:
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
в нашем случае
а=∛n
b=∛(n-1)

Чтобы избавиться от неопределенности вида {∞-∞}, домножим числитель на выражение, чтобы получилась разность кубов и сразу же разделим на это выражение, чтобы результат не изменился

$\lim_{n \to \infty} ( \sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n-1} )=\{ \infty-\infty\}= \\ \\ \lim_{n \to \infty} \frac{( \sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n-1} )( \sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n} * \sqrt[3]{n-1} +\sqrt[3]{(n-1)^2})}{( \sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n} * \sqrt[3]{n-1} +\sqrt[3]{(n-1)^2})}= \\ \\ \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt[3]{n} )^3- (\sqrt[3]{n-1})^3}{( \sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n} * \sqrt[3]{n-1} +\sqrt[3]{(n-1)^2})} = \\ \\$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n-n+1}{ \sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n} * \sqrt[3]{n-1} +\sqrt[3]{(n-1)^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2} +\sqrt[3]{n} * \sqrt[3]{n-1} +\sqrt[3]{(n-1)^2}} = \\ \\ = \frac{1}{\infty} =0$