Найти определённый интеграл: методом замены переменной

Question

Найти определённый интеграл: методом замены переменной

Answer 1

Имеем:



Если будут вопросы - спрашивай)
Удачи

Comments

Наверное не совсем правильно брать таким образом этот интеграл так как функция имеет разрыв в точке х =1 и поэтому мы должны расписать как сумму двух интегралов интеграл(от 0 до2)f(x)dx =lim(x->a)интеграл(от0 до 1-а)f(x)dx+lim(x->b)интеграл(от 1+b до 2)f(x)dx . Может быть я и неправ.

---

Подинтегральная функция имеет особою точку при х = 1, эта точка попадает в промежуток интегрирования, точка второго разрыва функция обращается в этой точке в бесконечность, поэтому в окрестности этой точки надо вычислять несобственные интегралы когда х стремится слева и справа к 1.Открытым остается вопрос сходятся ли эти несобственные интегралы с переменным верхним и нижним приделами, это можно решить, но только не врамках школьной программы.Так решать или нет??

---

Я не упоминал в тексте площадь функции. Я указал что у интеграла есть графическое представление результата вот и все. Если вы пишите квадратное уравнение и его решаете его решение можно представить как нахожджение точек пересечения параболы оси Ох. Еще раз указываю что в учебнике по математике допкустим Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс за 2001г написано стр208 Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке[a;b] то справедлива формула и далее сама формула.

---

Стойте. Ведь в задании ничего не сказано про "нахождение площади функции". Сказано просто: вычислить определенный интеграл

---

Если я не ошибаюсь, там надо метод Симпсона применять (по-моему, она так называется) Конечно, число будет неточным, зато число приближенное узнать можно

---

В таких случаях я никогда не сталкивался)

---

Ааа, дошло)

---

Для примера как аналога можно взять интеграл от функции 1/x^2 в пределах от -1 до 2. Неопределенный интеграл легко берется он равен -1/x. Если напрямую использовать формулу Ньютона Лейбница подставив пределы (-1) и 2 то получим конкретный результат. Но он будет неверен так как функция в нуле стремится к бесконечности.

---

К неопределенному интегралу вопросов нет. Но вот формула Ньютона Лейбница применяется для участков непрерывных функций. У нас же есть точка разрыва функции второго рода. Поэтому возникает вопрос. А можно ли напрямую использовать формулу Ньютона Лейбница при нахождении данного интеграла. Если вы можете ответить на этот вопрос то напишите. Я вот сомневаюсь что так можно делать.

---

Вы хотите сказать, что я неправильно взял интеграл????

Answer 2

   сделаем замену переменной = u, определим новые границы интегрирования. u(0) = -1  u(2) = 3, тогда наш интеграл будет равен:

Comments

То что стоит в числителе не имеет абсолютно никакого значения, фактически этот несобственный интеграл второго рода, вычисляется следующим образом

---

То там черным по белому написана стр208 Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке[a;b] то справедлива формула и далее сама формула. Я не буду приводить другие школьные учебники но там определение формулы будет таким же.

---

Для начинающих как раз и надо указать правильное применение формул в том числе и применение формулы Ньютона-Лейбница, чтобы избежать ошибок при вычислении. Мы же не вычисляем в школе квадратный корень из отрицательных чисел. Если обратиться к учебникам хотя бы Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс 2001 год выпуска.

---

Ясно...

---

Хотя в принципе этот интеграл может быть равен любому числу, даже отрицательному

---

Но формально для начинающих , его можно вычислить как я указала в ответе

---

То есть он равен сумме двух интегралов от бесконечной подинтегральной функции , но поскольку у нас после вычисления неопределенного интеграла, в числителе в окрестности точки 1 будет бесконечно малая величина четвертого порядка и скорее всего что эти интегралы расходятся то есть указанных выше пределов не существует , ставить так задачу не имеет смысла.

---

lim (под лимитом t ---> 1 - 0 интеграл в пределах от нуля до t подинтегральной функции + lim ( под лимитом t -----> 1+0 интеграл в приделах от t до 2, подинтегральной функции )

---

Первоначально в условии в числителе было 4x, а у вас - 2x

---

А как же тогда надо решать? =)