Решить уравнение: sin²2x+cos4x=0,5 ;
найдите корни на промежутке [-π; 2π] .
--------------------
sin²2x+cos4x=0,5 ;
(1 -cos4x) /2 +cos4x =1/2 ;
1 -cos4x +2cos4x =1 ;
cos4x =0 ;
4x =π/2 +π*n , n ∈ Z .
x = π/8 +(π/2)*n , n ∈ Z . * * * общее решения уравнения * * *
Выделяем корни расположенные на замкнутой промежутке [- π; 2π] .
- π ≤ x ≤ 2π ⇔ - π ≤ π/8 +(π/2)*n ≤ 2π ⇔ - π - π/8 ≤ π/2)*n ≤ - π/8 +2π
- 9π/8 ≤ π/2)*n ≤ 15 π/8 ⇔ - 9/4 ≤ n ≤ 15 / 4 ⇒ n ={ -2 ; -1 ; 0 ; 1; 2 ;3} .
соответствующие корни будут :
- 7π/8 ; - 3π/8 ; π/8 ; 5π/8 ; 9π/8 ; 13π/8 .
ответ : x = π/8 +(π/2)*n , n ∈ Z . { - 7π/8 ; - 3π/8 ; π/8 ; 5π/8 ; 9π/8 ; 13π/8 }..
* * * * * * *
! cos2α =cos²α - sin²α = 1 -2sin²α ⇒ sin²α = (1 -cos2α) /2 .