Найдите все значения параметра а ,при которых минимальное значение функции...

Question

Найдите все значения параметра а ,при которых минимальное значение функции f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке х принадлежит 0;2 включительно и уравнение равно 3

Comments

какое уравнение именно

---

4x^2-4ax+a^2-2a+2=

---

4x^2-4ax+a^2-2a+2=3 и x равен от 0 до 2 включительно

---

Найдите все значения параметра а ,при которых минимальное значение функции f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке х принадлежит 0;2 включительно и минимальное значение функции равно 3

---

можете ли сделать не применяя производную

Answer 1

F'(x)=8x-4a
x=a/2 0<=a/2<=2<br>0<=a<=4<br>f(a/2)=4*1/4-4a^2/2+a^2-2a+2=3-a^2-2a=3
a^2+2a=0 a=0 a=2

Comments

можете ли сделать не применяя производную

---

можно если воспользоваться свойством параболы что минимум достигается в точке с координатой х=-b/2a x=4a/8=a/2

---

0<=a/2<=2 0<=a<=4

---

f(a/2)=4a^2/4-4a^2/2+a^2-2a+2=3 a^-2a^2+a^2-2a+2=2-2a=3

---

a=-1/2 что не принадлежит промежутку.

Answer 2

Найдите все значения параметра а ,при которых минимальное значение функции f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке х принадлежит 0;2 включительно и уравнение равно 3
Уравнение f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 является параболой
Найдем значение х при котором парабола имеет минимальное значение
y'(x) = 8x-4a
 y'(x) = 0   или   8x-4a =0
                          8х = 4а
                           х = (1/2)a
Минимум параболы вида ax^2+bx+с
можно найти по формуле
                                 x = -b/(2a)
В нашем случае  4x^2-4ax+a^2-2a+2
                           a=4   b =-4а
                               x = 4a/(2*4) =(1/2)a
Так как отрезок минимума ограничен отрезком от 0 до 2 то можно записать неравенство
                               0 <</u> х <</u>  2     или  0 <</u> (1/2)a <</u>  2 
                                                          0 <</u> a <</u>  4
Теперь осталось найти само значение а при котором минимум функции равен 3
Подставим значение х=(1/2)a  в уравнение функции
 y(a/2) = 4*a^2/4 - 4a*a/2 +a^2-2a+2 = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = -2a + 2
    -2a + 2 = 3
     2a = -1
     a =-1/2 =-0,5( не подходит так как 0 <</u> a <</u>  4 ) 
Поэтому решения нет

Comments

можете ли сделать не применяя производную пожалуйста

---

Минимум параболы вида ax^2+bx+сможно найти по формуле x = -b/(2a)В нашем случае 4x^2-4ax+a^2-2a+2 a=4 b =-4а x = 4a/(2*4) =(1/2)a

---

В решении получили что минимальное значение параболы равно 3 при a =-0,5 но это значение не принадлежит отрезку значений a от 0 до 4 или значений х от 0 до 2 при которых парабола имеет минимальное значение. Поэтому решений нет

---

при х>a/2 функция на интервале достигает минимума на левом конце. f(0)=a^2-2a-2=3 a^2-2a-1=0 a=1+-sqrt(2) для любого х из отрезка(0ж2) должно выполняться (1+-sqrt(2))<0 т.е. если a=1-sqrt(2) , аналогично получается минимум и на правом конце. Это и есть окончательное решение.

---

Спасибо. Согласен с вами что если рассматривать не минимум функции вообще а минимальное значение функции на отрезке [0;2] то на концах отрезка будут минимальные значения равные 3. То есть y(0) =3 или a^2-2a-2=3 что верно при a1=1-корень(2) и a2=1+корень(2)(не подходит) А также y(3) =3 или a^2-10a+18=3 что верно при a1=5-корень(10)(не подходит) a2=5+корень(10). Получим два ответа 1-корень(2) и 5+корень(10).