через середину К медианы BM треугольника ABC и вершину А проведена прямая, пересекающая...

Question

через середину К медианы BM треугольника ABC и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырехугольника KPCM

Answer 1

 * Т.к. ВМ - медиана треугольника АВС, то S(ABM)=S(MBC)=S(АВС)/2

Т.к. АК - медиана треугольника АВМ,

тоS(ABK)=S(AKM)=S(ABM)/2=S(MBC)/2=S(АВС)/4 

Проведем МД так, что МД || КР, тогда КР - средняя линия в треуг-ке ВДМ, а МД - средняя линия в треуг-ке АРС, значит ВР=РД=ДС, т.е. ВС=3ВР. По условию ВК=КМ, т.е. ВМ=2ВК. Тогда

S(KBP)=1/2*ВК*ВР*sinКВР

S(МВС)=1/2*ВМ*ВС*sinКВР=1/2*2ВК*3ВР*sinКВР=3*ВК*ВР*sinКВР

Тогда  S(KBP)/S(МВС) = 1/ 6, а значит

 * S(KPСМ)/S(МВС) = 5/6.

Сравниваем строчки, помеченные * и получаем  S(ABС) : S(KPСМ) = 1: 6