Доказательство теоремы синусов.
Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.
Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.
Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или − в противоположном варианте. Так как sin(−)=sin, в обоих случаях получаем:
a=2R sin
Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:
Теорема синусов доказана.