Главное, не забывайте, что векторные пространства существенно отличаются от обычных линейных пространств наличием параллельного переноса (аффинные пространства) . В линейных пространствах его нет. И - "если хочешь быть вектором, научись складываться по правилу параллелограмма", поэтому все примеры с музыкой, прайс-листом и конвертацией валют - не катят :)
Примеры векторных пространств:
- n-мерное евклидово пространство (включая наше физическое трёхмерное пространство) радиус-векторов точки;
- 6n-мерное фазовое пространство (обобщенных координат и обобщенных импульсов) механической системы из "n" частиц;
- двумерное пространство векторного поля, которое, как известно, может быть единственным образом представлено в виде линейной комбинации "потенциального" вектора и "вихревого" вектора:
ā = a1 * grad( F ) + a2 * rot ( Ā ), где F - скалярный потенциал и Ā - векторный потенциал;
- двумерное комплексное пространство (в принципе, есть и трёхмерные комплексные пространства) ;
- я бы назвал ещё пространство векторов угловых скоростей вращающегося тела, НО будьте осторожны с этим пространством. Дело в том, что эти векторы являются аксиальными, т. е. они - результат векторного произведения обычных ("полярных") векторов. Следовательно, аксиальные векторы меняют своё направление от перестановки полярных векторов в векторном произведении.