ДАНО
Функция Y = x⁴ - 4x² +4
ПРОВЕСТИ ИССЛЕДОВАНИЕ
РЕШЕНИЕ.
1. Область определения - X∈|R-∞,+∞) - разрывов нет - непрерывная.
2. Точки пересечения с осью Х - X1= -√2~-1.4 и Х2 = +√2 ~1.4
3. Точка пересечения с осью У - У(0)=4.
4. Поведение в бесконечности
У(-∞)=+∞ и У(+∞)=+∞
5. Исследование на четность
У(х) = У(-х) - функция четная.
6. Первая производная функции - поиск экстремумов.
Y' = 4x³-8x = 4*x*(x²-2)
7, Точки экстремума = корни производной.
x1= -√2, x2= 0, x3= √2,
8. Максимум - Y(0)=4
минимум - Y(-√2)=0 и Y(√2)=0.
9. Исследование на монотонность
Убывает - Х∈(-∞,-√2]∪[0,√2]
Возрастает - Х∈[-√2,0]∪[√2,+∞)
10. Вторая производная - точки перегиба.
Y" = 12x²- 8 = 0
x1= -√(2/3) ~ -0,82 x2=+√2/3
11. Вогнутая - Х∈(-∞,х1]∪[x2,+∞)
Выпуклая - Х∈[x1,x2]
Комментарий
На графиках- производные выполнены в масштабе, чтобы увидеть корни.
